martes, 1 de octubre de 2013

ley de los exponenestes y radicales, productos notables y trinomios al cuadrado perfecto

Estas son las Leyes de los Exponentes:
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Regla del Producto ➊
Cuando tenemos 2 términos con las misma Base los Exponentes se Suman

xª * xⁿ = xª⁺ⁿ


Regla de la División ➋
Cuando tenemos un Cociente con términos de la misma Base los Exponentes se Restan

si a > n

xª
--- = xª ⁻ⁿ
xⁿ


si a = n; el Resultado es (1)


si a < n

xª…….1
--- = -------
xⁿ……xⁿ⁻ª


Regla de la Potencia ➌
Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican

(xª)ⁿ = xª*ⁿ



Regla ➍

(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ


Regla del Exponente Cero ➎
Todo número elevado a la Potencia “Cero” es uno

x⁰ = 1



Regla del Exponente Negativo ➏
Todo número Elevado a una Potencia Negativa se puede representar como su inverso para cambiarle la Potencia de Negativa a Positiva

………1
x⁻ⁿ = -----
………xⁿ



Regla del Radical ➐
Todo Expresión Radical se puede expresar, se puede expresar como un Exponente Fraccionario

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ






Leyes de las Radicales
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La radicación es la Inversa a la Potenciación


➊

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ


➋

ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b


➌

…………ⁿ√a
ⁿ√a/b = -------
…………ⁿ√b



➍

ª√ⁿ√b = ªⁿ√b



➎ La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta

√(a² + b²) ≠ √a² + √b²



➏ La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división

√(a² * b²) = √a² * √b²
 

 
Polinomios de una variable
Un polinomio en una variable $x$ es una expresión de la forma:
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0$

donde $a_n, \, a_{n-1}, \, \cdots a_0$ son constantes reales.
  Definición
  Sea $P(x)$ un polinomio en una variable $x$ tal que:

$P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0$, con $a_n \not= 0.$

Se dice que $P(x)$ es un polinomio de grado $n$, y las constantes $a_n, \, a_{n-1}, \, \cdots a_1, \, a_0$, reciben el nombre de coeficientes de $P(x)$
Ejemplo:  
a.)$5x^4 \, + \, 0x^3 \, - \, 3x^2 \, + \, 2x \, + \, 1$ es un polinomio de grado 4
b.)$x^3 \, + \, 0x^2 \, - \, 3x \, + \, 0$ es un polinomio de grado 3
c.)$-2x^2 \, - \, 4x \, + \, 1$ es un polinomio de grado 2
 Notación:
Si en un polinomio de grado $n$, alguno de los coeficientes es igual a cero, entonces el término correspondiente no se escribe.

Ejemplo:
 
a.)$5x^3 \, + \, 0x^2 \, - \, 3x \, + \, 5 $ se expresa como $5x^3 \, - \, 3x \, + \, 5$
b.)$3x^4 \, + \, 0x^3 \, + \, 0x^2 \, + \, 0x \, + \, 1$ se expresa como $3x^4 \, + \, 1$
c.)$-7x^3 \, + \, 0x^2 \, + \, 3x \, + \, 0$ se expresa como $-7x^3 \, + \, 3x$
  Ejemplo:
Considere los polinomios $A(x)$ y definidos por $A(x) = x^2 \, - \, x \, - \, 6, \, \, B(x) = x \, + \, 1$

Determine:
a.)   $ \, \, A(x) \, + \, B(x)$b.)  c.) $A(x) \, \cdot \, B(x)$


Solución:
a.) $ \, \, A(x) \, + \, B(x)$$=$ $(x^2 \, - \, x \, - \, 6) \, + \,(x \, + \, 1)$
   
 $=$ $x^2 \, - \, x \, - \, 6 \, + \, x \, + \, 1$
   
 $=$$x^2 \, - \, 5$
o sea:   $A(x) \, + \, B(x) \, = \, x^2 \, - \, 5$ 
b.) $=$ $(x^2 \, - \, x \, - \, 6) \, - \,(x \, + \, 1)$
   
 $=$ $x^2 \, - \, x \, - \, 6 \, - \, x \, - \, 1$
   
 $=$ $x^2 \, - \, 2x \, - \, 7$
o sea:     $A(x) \, - \, B(x) \, = \, x^2 \, - \, 2x \, - \, 7$ 
c.) $ \, \, A(x) \, \cdot \, B(x)$$=$ $(x^2 \, - \, x \, - \, 6)(x \, + \, 1)$
   
 = $(x^2 \, - \, x \, - \, 6)x \, + \, (x^2 \, - \, x \, - 6)1$
   
 = $x^3 \, - \, x^2 \, - \, 6x \, + \, x^2 \, - \, x \, - \, 6$
   
 = $x^3 \, - \, 7x \, - \, 6$
o sea:    $A(x) \, \cdot \, B(x) \, = \, x^3 \, - \, 7x \, - \, 6$
Nota:
En general,. si $A(x)$ y son polinomios con , entonces $\displaystyle{{A(x) \over B(x)}}$ no siempre es un polinomio. Ejemplo: Si y $B(x) = x$ entonces:
$\displaystyle{{A(x) \over B(x)} = {2\over x}}$; por lo que $\displaystyle{{A(x) \over B(x)}}$ no es un polinomio 
PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
Binomio de Suma al Cuadrado: El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. 
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Binomio Diferencia al Cuadrado: El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino común por la suma de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes.
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Binomio Diferencia al Cubo  El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab  
TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS
a2+ 2ab + b2 = (a + b) 2






a


b



En un trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
1)Un trinomio ordenado con relación a una letra
2)Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
3)El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Procedimiento para factorizar
1)Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2)Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).
3)Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.
Si el ejercicio fuera así:
a2 -2ab + b2 = (a - b) 2





a


b


Procedimiento para factorizar
1)Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2)Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces

(a - b)(a - b).
3)Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.
 
Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x2 es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x
Luego x2 + 10x + 25 =(x + 5)2
 
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y
Luego 49y2 + 14y + 1 =(7y + 1)2
 
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
Luego 81z2 - 180z + 100 =(9z - 10)2
 


4a8
32a4b
Ejemplo 4: Factorizar ----------+ 64b2


49
7

4a8
2a4
La raíz cuadrada de :--es--

49
7
La raíz cuadrada de : 64b2 es 8b
El doble producto de las raíces: 2(2a4 / 7)(8b) es 32a4b / 7


4a8
32a4b



2a4

Luego: Factorizar ----------- +64b2 =(----8b)2
  
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